Henryk Rosiński urodził się ur. 4 stycznia (16 stycznia) 1883 roku w Kijowie. W 1906 r. ukończył studia prawnicze na Uniwersytecie Noworosyjskim w Odessie, a w 1907 r. rozpoczął aplikację sądową w tym mieście. Po rocznej praktyce został pomocnikiem adwokata przysięgłego w Kiszyniowie. Status adwokata przysięgłego uzyskał w 1912 r. i do 1916 r. prowadził kancelarię adwokacką w Kiszyniowie. W kwietniu 1919 r. powrócił do kraju i w tym samym roku został wpisany na listę adwokatów. W październiku 1919 r. został wpisany na listę adwokacką w Zamościu. Do 1921 r. pełnił służbę wojskową w 9 pułku piechoty Legionów i w 2 brygadzie kawalerii. Po demobilizacji osiadł na stałe w Zamościu, gdzie prowadził kancelarię adwokacką.
Rosiński brał czynny udział w działalności społecznej i kulturalnej miasta. Uczestniczył w spotkaniach towarzyskich, których tematem była książka. Efektem tych spotkań było zorganizowanie wystawy książki polskiej w 1923 r. w Zamościu. Na wystawie zgromadzono przeszło 1500 druków polskich wydanych na przestrzeni kilku wieków. Książki pochodziły z księgozbiorów prywatnych i poklasztornych znajdujących się na terenie Zamojszczyzny. Była to trzecia wystawa książki na ziemiach polskich, a pierwsza na prowincji. Komitet organizacyjny wystawy stanowili m.in. Zygmunt Klukowski, Kazimierz Lewicki, Wanda Madlerowa i Henryk Rosiński.
W 1924 r. oficjalnie zarejestrowano Koło Miłośników Książki w Zamościu. Zainteresowania bibliofilskie Rosińskiego potwierdzał księgozbiór, który w 1939 r. liczył około 3000 tomów. Jego nazwisko wiąże się też z zamojską biblioteką publiczną, w 1933 r. został jej zarządcą. W tym samym roku za pracę społeczną został odznaczony Złotym Krzyżem Zasługi, objął też stanowisko notariusza przy Wydziale Hipotecznym Sądu Grodzkiego w Hrubieszowie. Do Zamościa powrócił w 1935 r. obejmując kancelarię notarialną po odejściu do Warszawy Bolesława Leśmiana. W czerwcu 1940 r. Rosiński został aresztowany i osadzony w zamojskiej Rotundzie. Więziony w obozach Sachsenhausen i Dachau numer obozowy 17133. Zmarł z wycieńczenia 21 lutego 1941 roku w obozie Dachau.
